Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，點P為x軸上一個動點，（點P不與O、A重合），連接CP，過點P作PD交AB于點D．
（1）求點B的坐標；
（2）當點P運動到什么位置時，△OCP為等腰三角形，求此時點P的坐標；
（3）當點P運動到什么位置時，∠CPD=45°，且

BD

AD

=

1

3

，求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）作BE⊥OA，利用等腰梯形的性質得出AE=BE，進而利用勾股定理求出OE的長，即可得出B點坐標；
（2）分別利用當OP=CP時，以及當OC=OP、OC=CP時求出點P的坐標即可；
（3）根據已知首先證明△OCP∽△APD，再利用相似三角形的性質以及一元二次方程的解法求出即可．

解答：解：（1）過點B作BE⊥OA，
∵四邊形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，
∴∠EBA=45°，
∴AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE=BE=2

2

，
∴OE=7-2

2

，
∴點B的坐標(7-2

2

，2

2

)；

（2）當OP=CP時，
即∠COP=∠OCP=45°，
∴OP=PC，
OP²+CP²=OC²，
∴OP=2

2

，
∴P點坐標為：(2

2

，0)，
當OC=OP，即OC=OP=AB=4，
當OC=CP時，∠COP=∠CPO=45°，
∴∠OCP=90°，
∵CO=4，
∴CP=4，
∴OP=4

2

，
∴P點坐標為：P（4，0）或（-4，0）或（4

2

，0）；

（3）∵∠CPD=45°，
∴∠OPC+∠DPA=180°-45°=135°，
∵∠OCP+∠OPC=180°-45°=135°，
∴∠OCP=∠DPA，
∵∠COP=∠DAP=45°，
∴△OCP∽△APD，
∴

AD

OP

=

AP

CO

，
∵

BD

AD

=

1

3

，AB=4，
∴AD=3，

3

OP

=

7-OP

4

，
∴OP²-7OP+12=0，
解得：OP₁=3，OP₂=4，
∴P（3，0）或（4，0）．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定以及等腰三角形的性質和勾股定理等知識，根據已知得出△OCP∽△APD以及分類討論思想的應用是初中階段考查重點．