Question

【題目】如圖，在中，點、分別是、的中點，平分，交于點，交于點.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求四邊形的周長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8.

【解析】

（1）由三角形中位線定理可得BC＝2DE，DE∥BC，且FG∥AB，可證四邊形BDFG是平行四邊形，由角平分線的性質和平行線的性質可得DF＝DB，即可得四邊形BDFG是菱形；

（2）由菱形的性質可得DF＝BG＝GF＝BD，由BC＝2DE，可求BG的長，即可求四邊形BDFG的周長．

證明：（1）∵點D、E分別是AB、AC的中點，

∴BC＝2DE，DE∥BC，且FG∥AB，

∴四邊形BDFG是平行四邊形，

∵BF平分∠ABC，

∴∠DBF＝∠GBF，

∵DE∥BC，

∴∠GBF＝∠DFB，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴DF＝DB，

∴四邊形BDFG是菱形；

（2）∵四邊形BDFG是菱形；

∴DF＝BG＝GF＝BD

∵BC＝2DE

∴BG＋4＝2（BG＋1）

∴BG＝2，

∴四邊形BDFG的周長＝4×2＝8