Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），tan∠OAC= ．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，過H作直線HN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，求線段PH的最大值；
（3）點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC= ，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得 ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+3

（2）

解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴直線AC的解析式為y= x+3．

設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），則H（x， x+3），P（x，﹣ x2﹣ x+3），

∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+2）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴PH有最大值，

當(dāng)x=﹣2時，PH取最大值，最大值為

（3）

解：過點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對稱軸于點(diǎn)G，則∠MGE=∠MKC=90°，

∴∠MEG+∠EMG=90°，

∵四邊形CMEF是正方形，

∴EM=MC，∠MEC=90°，

∴∠EMG+∠CMK=90°，

∴∠MEG=∠CMK．

在△MCK和△MEG中， ，

∴△MCK≌△MEG（AAS），

∴MG=CK．

由拋物線的對稱軸為x=﹣1，設(shè)M（x，﹣ x2﹣ x+3），則G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣ x2﹣ x+3），

∴MG=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|，

∴|x+1|=| x2+ x|，

∴ x2+ x=±（x+1），

解得：x1=﹣4，x2=﹣ ，x3=﹣ ，x4=2，

代入拋物線解析式得：y1=0，y2= ，y3= ，y4=0，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或（2，0）．

【解析】（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)以及tan∠OAC= 可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由點(diǎn)A、C的解析式利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐標(biāo)，由此即可得出PH關(guān)于x的解析式，利用配方法即二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）過點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對稱軸于點(diǎn)G，根據(jù)角的計算依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進(jìn)而得出MG=CK．設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)利用正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)G、K的坐標(biāo)，由正方形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．