Question

【題目】如圖，已知△ABC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E為弧AD的中點，連接CE交AB于點F，且BF=BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，=，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）連接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根據切線的判定推出即可．
（2）根據AC=4，=，求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根據∠EAD=∠ACE，∠E=∠E證△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，設EA=x，EC=2x，由勾股定理得出，求出即可．

（1）答：BC與⊙O相切．
證明：連接AE，
∵AC是⊙O的直徑
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC=∠AFE，
∵E為弧AD中點，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=∠EAD+∠AFE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC為直徑，
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：∵⊙O的半為2，
∴AC=4，
∵=

∴BC=3，AB=5，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴

∴EC=2EA，
設EA=x，則有EC=2x，
由勾股定理得：，

∴ （負數舍去），
即.