Question

【題目】 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2 ，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OC，

∵CD為⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD+∠ADC=180°，

∴AD∥OC，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

則AC平分∠DAB

（2）解：

法1：如圖2，連接OE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，∠1=30°，

∴AC=2CD=4 ，

在Rt△ABC中，AC=4 ，∠CAB=30°，

∴AB= = =8，

∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴AE=OA= AB=4；

法2：如圖3，連接CE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，

∴AD= = =6，

∵四邊形ABCE是⊙O的內接四邊形，

∴∠B+∠AEC=180°，

又∵∠DEC=∠B=60°，

在Rt△CDE中，CD=2 ，

∴DE= = =2，

∴AE=AD﹣DE=4．

【解析】（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據切線的性質得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根據兩直線平行內錯角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等邊對等角得到∠2=∠3，等量代換可得出∠1=∠3，即AC為角平分線；（2）法1：由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數求出∠3的度數為30°，可得出∠1的度數為30°，在直角三角形ACD中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由CD的長求出AC的長，在直角三角形ABC中，根據cos30°及AC的長，利用銳角三角函數定義求出AB的長，進而得出半徑OE的長，由∠EAO為60°，及OE=OA，得到三角形AEO為等邊三角形，可得出AE=OA=OE，即可確定出AE的長；法2：連接EC，由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數求出∠3的度數為30°，可得出∠1的度數為30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用銳角三角函數定義求出AD的長，由∠DEC為圓內接四邊形ABCE的外角，利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度數求出∠DEC的度數為60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的長，求出DE的長，最后由AD﹣ED即可求出AE的長．
【考點精析】通過靈活運用圓周角定理和切線的性質定理，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．