Question

（2011•臨川區模擬）問題背景：如圖1，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一條直線上，連接BG，DE．
問題探究：
（1）①如圖1所示，當G在CD邊上時，猜想線段BG、DE的數量關系及所在直線的位置關系．（不要求證明）
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖2，如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，請選擇圖2或圖3證明你的判斷．
類比研究：
（2）若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖4所示），且

AB

BC

=

CE

CG

=k（其中k＞0），請直接寫出線段BG、DE的數量關系及位置關系．請選擇圖5或圖6證明你的判斷．
拓展應用：
（3）在（1）中圖2中，連接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE²+DG²的值．

Answer 1

分析：（1）①利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用對應角關系得出即可；
②利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用對應角關系得出即可；
（2）利用相似三角形的判定得出△BCG∽△DCE，進而得出即可；
（3）利用勾股定理得出BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，進而得出答案即可．

解答：解；（1）①BG=DE，BG⊥DE；
②仍然成立，選擇圖2證明如下：
證明：∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形；
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（2）BG⊥DE，

DE

BG

=k，
如圖5，
證明：
∵四邊形ABCD，CEFG都是矩形，且

AB

BC

=

EC

CG

=k，
∴

DC

BC

=

EC

CG

=k，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，

DE

BG

=k，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（3）∵BG⊥DE，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵AB=3，CE=2，
∴BD=3

2

，GE=2

2

，
∴BD²+GE²=（3

2

）²+（2

2

）²=26，
∴BE²+DG²=26．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定與性質和勾股定理的應用，熟練利用相似三角形的性質得出是解題關鍵．