Question

【題目】如圖，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分線EF交AD于點E，交BC的延長線于點F，交AB于點G，交AC于點H．

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：∠BAD=∠BFG；

(3)試猜想AB，FB和FD之間的數量關系并進行證明．

Answer 1

【答案】(1)補圖見解析；(2)證明見解析；(3)，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意補全圖形；

（2）根據角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD．在Rt△AEH和Rt△CFH中，根據三角形內角和定理得到∠CFH=∠CAD，等量代換即可得到結論；

（3）由線段垂直平分線的性質得到AF=FD，通過證明∠BAF=90°．在Rt△BAF中，利用勾股定理即可得到結論．

(1)補全圖形如圖；

(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．

∵FE⊥AD，∠ACF=90°，∠AHE=∠CHF，∴∠CFH=∠CAD，∴∠BAD=∠CFH，即∠BAD=∠BFG．

(3)猜想：．證明如下：

連接AF．

∵EF為AD的垂直平分線，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD．

∵AD是角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠ B，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠BAC+∠B=90°，∴，∴．