Question

在△ABC中，A（3，0），B（0，4），C（0，0）．
（Ⅰ）已知AB的長可能是4，4，5，5，5，5，試通過測量或者估算，寫出你認為正確的那個值（只須寫出結果）；
（Ⅱ）設P是△ABC內一點，且到三邊的距離相等，試求點P的坐標（要寫出過程）；
（Ⅲ）坐標平面上到直線AB，BC，CA等距離的點一共有多少個？它們分別在哪些象限？如果第四象限存在滿足條件的點，試求出它的坐標．（前兩問只須寫出結果，第三問要寫出過程）

Answer 1

分析：（1）根據A（3，0），B（0，4），可以只計測量得出答案；
（2）可以利用三角形面積分割求出P點的坐標；
（3）根據三角形面積S_△QAB+S_△QBC-S_△QCA=S_△ABC=6求出第四象限存在滿足條件的點的坐標即可．

解答：解：（Ⅰ）根據A（3，0），B（0，4），可以只計測量得出答案；
也可以利用勾股定理求出：AB=5；

（Ⅱ）由于點P在第一象限，且到兩坐標軸的距離相等，則設P（a，b），
則S_△PAB+S_△PBC+S_△PCA=S_△ABC=6，
即5a+4a+3a=12，所以a=1，故所求點P的坐標為（1，1）．      

（Ⅲ）一共有4個點，除上述P點外，還有三點，它們分別在第一象限，第二象限，第四象限．    
顯然，第四象限的點可設為Q（b，-b），其中b＞0．
由于S_△QAB+S_△QBC-S_△QCA=S_△ABC=6，所以5b+4b-3b=12，b=2，
故所求點Q的坐標為（2，-2）．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及三角形面積分割法求內切圓半徑，此題難度不大比較典型．