Question

如圖，折疊矩形OABC的一邊BC，使點C落在OA邊的點D處，已知折痕BE=5，且=，以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物線l：y=﹣x²+x+c經過點E，且與AB邊相交于點F．

（1）求證：△ABD∽△ODE；

（2）若M是BE的中點，連接MF，求證：MF⊥BD；

（3）P是線段BC上一點，點Q在拋物線l上，且始終滿足PD⊥DQ，在點P運動過程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合條件的Q點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：

∵四邊形ABCO為矩形，且由折疊的性質可知△BCE≌△BDE，

∴∠BDE=∠BCE=90°，

∵∠BAD=90°，

∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，

∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，

∴△ABD∽△ODE；

（2）證明：

∵=，

∴設OD=4x，OE=3x，則DE=5x，

∴CE=DE=5x，

∴AB=OC=CE+OE=8x，

又∵△ABD∽△ODE，

∴==，

∴DA=6x，

∴BC=OA=10x，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE²=BC²+CE²，即（5）²=（10x）²+（5x）²，解得x=1，

∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，

∴拋物線解析式為y=﹣x²+x+3，

當x=10時，代入可得y=，

∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，

在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，

∴BF=DF，

又M為Rt△BDE斜邊上的中點，

∴MD=MB，

∴MF為線段BD的垂直平分線，

∴MF⊥BD；

（3）解：

由（2）可知拋物線解析式為y=﹣x²+x+3，設拋物線與x軸的兩個交點為M、N，

令y=0，可得0=﹣x²+x+3，解得x=﹣4或x=12，

∴M（﹣4，0），N（12，0），

過D作DG⊥BC于點G，如圖所示，

則DG=DM=DN=8，

∴點M、N即為滿足條件的Q點，

∴存在滿足條件的Q點，其坐標為（﹣4，0）或（12，0）．