Question

如圖，已知直線AB經過點C（1，2），與x軸、y軸分別交于A點、B點，CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，CF與x軸交于F．
（1）當直線AB繞點C旋轉到使△ACD≌△CBE時，求直線A8的解析式；
（2）若S_{四邊形ODCE}=S_△CFD，當直線AB繞點C旋轉到使FC⊥AB時，求BC的長；
（3）在（2）成立的情況下，將△FOG沿y軸對折得到△F′O′G′（F、0、G的對應點分別為F′、O′、G′），把△F′O′G′沿x軸正方向平移到使得點F′與點A重合，設在平移過程中△F′O′G′與四邊形CDOE重疊的面積為y，OO′的長為x，求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知C點的坐標，則已知CE，CD的長度，然后依據△ACD≌△CBE，即可求得OA，OB的長度，從而求得A，B的坐標，然后利用待定系數法即可求得AB的解析式；
（2）根據S_{四邊形ODCE}=S_△CFD，可以得到△OGF≌△EGC，則EC=OF，而EC=OD，可以證得∠GFO=45°，在直角△OGF中，利用勾股定理即可求得GF的長，并且易證△BEC是等腰直角三角形，△BCG是等腰直角三角形，則BC=CG=GF，從而求解；
（3）O′的位置分兩種情況：當△O′G′F′沿x軸正方向移動到使得點O′與點D重合時；當△O′G′F′從點O′與點D重合的位置繼續沿x軸正方向移動到使得點F′與點A重合時，分別利用三角形的面積公式和梯形的面積公式即可求得函數解析式．

解答：解：（1）∵CD⊥x軸，CE⊥y軸．x軸⊥y軸，
∴∠CDO=90°，∠CE0=90⁰，∠EOD=90°．
∴四邊形CDOE是矩形．
∴OD=EC，OE=DC．
∵C（1，2），
∴D（1，0），
E（O，2）．
∴OD=1，OE=2．
∵△ACD≌△CBE．
∴EB=DC=0E=2．
∴OB=0E+EB=4．
∴B（O，4）．    
設直線AB的解析式為y=-2x+4．
因為直線AB經過點C（1，2），
所以2=k+4．k=-2
則直線AB的解析式為y=-2x+4；
    
（2）∵S_△CFD=

1

2

FD•CD，S_{四邊形ODCE}=CD•CE，且S_{四邊形ODCE}=S_△CFD，
∴

1

2

×2×FD=2×1，FD=2．
∴FO=FD-OD=1．                            
∵∠FGO=∠CGE，∠FOG=∠CEG=90°，FO=CE．
∴△OGF≌△EGC．
∴FG=CG，OG=EG=1．
在△FOG中，∠FOG=90°，FO=OG=1．
∴tan∠GFO=

GO

FO

=1．所以∠GFO=45°．
∴FG=

OG

sin45°

=

2

，
∵FC⊥AB，
∴∠BCF=90°，從而∠CBG=45°．
∴BC=GC．
∴BC=FG=

2

；

（3）因為∠CFA=45°，∠ACF=90°，所以∠CAF=45°，所以CD⊥AD，所以AD=FD=2
∵△F′O′G′與△FOG關于y軸對稱，
∴F′O′=FO=I，
∴O′G′=OG=1．∠G′F′O′=∠CFD=45°
（I）當△G′O′F′沿x軸正方向移動到使得點O′與點D重合時．
0＜x≤l，O′D=0D-0O′=1-x，DF^′=O′F′-O′D=1-（1-x）=x
∵∠HDF^′=90⁰，∠HDF^′=∠G′F′O′=45⁰．
∴∠DHF^′=45⁰．
∴HD=DF^′．
則y=

(HD+O′G′)O′D

2

=

(x+1)(1-x)

2

=-

1

2

x²+

1

2

（0＜x≤1），
（II）當△O^′G^′F^′從點O^′與點D重合的位置繼續沿x軸正方向移動到使得點F^′與點A重合時，
l＜x≤2，y=0    
因此y與x之間的函數關系式為：y=

- 1 2 x2+ 1 2 (0＜x≤1) 0  (1＜x≤2)

．

點評：本題考查全等三角形的性質，解直角三角形，求函數的解析式的綜合應用，注意到分情況討論是關鍵．