Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，點E，O，F分別為AB，AC，AD的中點，連接CE，CF，OE，OF．
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）當AB與BC滿足什么關系時，四邊形AEOF是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，

∵點E，O，F分別為AB，AC，AD的中點，

∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，

在△BCE和△DCF中， ，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）解：當AB⊥BC時，四邊形AEOF是正方形，理由如下：

由（1）得：AE=OE=OF=AF，

∴四邊形AEOF是菱形，

∵AB⊥BC，OE∥BC，

∴OE⊥AB，

∴∠AEO=90°，

∴四邊形AEOF是正方形．

【解析】（1）由菱形的性質得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位線定理證出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS證明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，證出四邊形AEOF是菱形，再證出∠AEO=90°，四邊形AEOF是正方形．