Question

【題目】如圖，拋物線（）的頂點為，對稱軸與軸交于點，當以為對角線的正方形的另外兩個頂點、恰好在拋物線上時，我們把這樣的拋物線稱為美麗拋物線，正方形為它的內接正方形．

（1）當拋物線是美麗拋物線時，則______；當拋物線是美麗拋物線時，則______；

（2）若拋物線是美麗拋物線時，則請直接寫出，的數量關系；

（3）若是美麗拋物線時，（2），的數量關系成立嗎？為什么？

（4）系列美麗拋物線（為小于的正整數）頂點在直線上，且它們中恰有兩條美麗拋物線內接正方形面積比為．求它們二次項系數之和．

Answer 1

【答案】（1），； （2）；（3）答：成立．見解析；（4）這兩條美麗拋物線對應的二次函數的二次項系數和為．

【解析】

（1）分別求出美麗拋物線的頂點A的坐標，根據正方形的性質得到點B的坐標，代入函數解析式求出a或k；

（2）由（1）得到規律；

（3）利用拋物線的平移的性質即可得到答案；

（4）設這兩條美麗拋物線的頂點坐標分別為和，（，為小的正整數，且），它們的內接正方形的邊長比為，解得，得到這兩條美麗拋物線分別為和，根據，，

求出，即可得到答案.

（1）∵拋物線，

∴頂點A的坐標為（0,1），

∴BD=OA=1，

∴點B的坐標為（-0.5,0.5），

將點B的坐標代入，得到0.25a+1=0.5，

解得a=-2，

同理，拋物線是美麗拋物線，

∴頂點A（0，k），

∴B（-， ），

將點B的坐標代入，得，

解得k=-4，

故答案為：，；

（2）由（1）知：

當a=-2時，k=1；當a=時，k=-4，

∴；

（3）答：成立．

∵美麗拋物線沿軸向右或向左平移后得到的拋物線仍然是美麗拋物線．

∴美麗拋物線沿軸經過適當平移后沿到美拋物線．

∴．

（4）設這兩條美麗拋物線的頂點坐標分別為和，（，為小的正整數，且），它們的內接正方形的邊長比為，

∴，

得．

∴這兩條美麗拋物線分別為和．

∵，，

∴，．

∴．

答：這兩條美麗拋物線對應的二次函數的二次項系數和為．