Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當α=150°時，△AOD是直角三角形，理由見解析；（3）當α的度數為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．

【解析】（1）根據旋轉的性質可得出OC=OD，結合題意即可證得結論；

（2）結合（1）的結論可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉及全等的性質即可做出解答.

（1）證明：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC

∴CO=CD，∠OCD=60°

∴△COD是等邊三角形.

（2）解：當=150°時，△AOD是直角三角形

理由是:∵△BOC≌△ADC

∴∠ADC=∠BOC=150°

又∵△COD是等邊三角形

∴∠ODC=60°[來

∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形.

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO

∵∠AOD= = ,∠ADO=

∴=

∴

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO

∵∠OAD=（∠AOD+∠ADO）==

∴=

∴

③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.

∵∠AOD= = ，∠OAD=∴=，解得

綜上所述：當的度數為或或時，△AOD是等腰三角形.

“點睛”本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形）的性質、全等三角形的性質與證明、直角三角形的判定、多邊形內角和等）為載體，內容由淺入深，層層遞進，試題中幾何演繹推理的難度適中，蘊含著豐富的思想方法（如運動變化、數形結合、分類討論、方程思想等）能較好地考查學生的推理、探究及解決問題的能力.