Question

（2013•響水縣一模）探究與發現：
探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系呢？

已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數量關系．
探究二：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？
已知：如圖2，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數量關系．
探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？
已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論探究∠P與∠A+∠B的數量關系．
探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖4）呢？
請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數量關系：

∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°

．

Answer 1

分析：探究一：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據三角形內角和定理整理即可得解；
探究二：根據角平分線的定義可得∠PDC=

1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；
探究三：根據四邊形的內角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根據六邊形的內角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．

解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；

探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-

1

2

∠ADC-

1

2

∠ACD，
=180°-

1

2

（∠ADC+∠ACD），
=180°-

1

2

（180°-∠A），
=90°+

1

2

∠A；

探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-

1

2

∠ADC-

1

2

∠BCD，
=180°-

1

2

（∠ADC+∠BCD），
=180°-

1

2

（360°-∠A-∠B），
=

1

2

（∠A+∠B）；

探究四：六邊形ABCDEF的內角和為：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠P=

1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-

1

2

∠ADC-

1

2

∠ACD，
=180°-

1

2

（∠ADC+∠ACD），
=180°-

1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=

1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

點評：本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，多邊形的內角和公式，此類題目根據同一個解答思路求解是解題的關鍵．