Question

（2013•響水縣一模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線交BC于D，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D
（1）試判斷直線AC與⊙D的位置關系，并說明理由；
（2）若點E在AB上，且DE=DC，當AB=3，AC=5時，求線段AE長．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．
（2）首先證明Rt△ABD≌Rt△AFD可得AB=AF=3，進而得到FC=2，再證明Rt△EBD≌Rt△CFD進而得到EB=FC，繼而得到AE=1．

解答：解：（1）AC與⊙D相切；
理由如下：
過點D作DF⊥AC于F；
∵AB為⊙D的切線，AD平分∠BAC，
∴BD=DF，
∴AC為⊙D的切線；

（2）∵在Rt△ABD和Rt△AFD中

AD=AD DB=DF

，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴AB=AF=3，
∵AC=5，
∴FC=2，
∵在Rt△EBD和Rt△CFD中

ED=DC DB=DF

，
∴Rt△EBD≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC=2，
∴AE=3-2=1．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及切線的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定與性質定理．