Question

【題目】教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2 ， 也可以表示為4×ab+(a-b)2由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2=c2 ．

（1）圖②為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你利用圖②推導勾股定理．

（2）如圖③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，則斜邊AB上的高CD的長為多少?

（3）試構造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ， 畫在如圖4的網格中，并標出字母a、b所表示的線段．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) ;(3)詳見解析>

【解析】

（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關系式，化簡即可得證；
（2）已知兩直角邊，利用勾股定理求出斜邊長，再利用面積法即可求出斜邊上的高．
（3）已知圖形面積的表達式，即可根據表達式得出圖形的邊長的表達式，即可畫出圖形．

解：（1）梯形ABCD的面積為（a+b）（a+b）=a2+ab+b2 ，

也利用表示為ab+c2+ab，

∴a2+ab+b2=ab+c2+ab，即a2+b2=c2

（2）∵直角三角形的兩直角邊分別為3，4，

∴斜邊為5，

∵設斜邊上的高為h，直角三角形的面積為×3×4=×5×h，

∴h=．

（3）∵圖形面積為：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ，

∴邊長為（a+2b）（a+b），

由此可畫出的圖形為：