Question

已知線段AB是⊙O的弦，點P是優弧上一個動點（P不與A、B重合），直線l是∠APB的平分線．
（1）畫圖并證明：當點P在優弧上運動時，∠APB的平分線l過定點Q；
（2）當點P在優弧上運動時，△APQ的面積能否取得最大值，如果能，請用尺規作圖確定點P在⊙O上的位置；如果不能，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）如圖，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴弧AQ=弧BQ，
∴Q為弧AB的中點，
即∠APB的平分線過定點Q．

（2）能取得最大值．理由如下：
∵AQ為定值，
∴當P到AQ的距離最大時，△APQ的面積取得最大值，
所以過圓心O作AQ的垂線交優弧AB于P點．如圖．
分析：（1）由∠APQ=∠BPQ，根據圓周角定理得到弧AQ=弧BQ，即Q為弧AB的中點，為定點；
（2）由于AQ為定值，所以當P到AQ的距離最大時，△APQ的面積取得最大值，則過圓心O作AQ的垂線交優弧AB于P點．
點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了圓周角定理以及過一點作直線的垂線的方法．