Question

如圖，以矩形OCPD的頂點O為原點，它的兩條邊所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標系. 以點P為圓心，PC為半徑的⊙P與x軸的正半軸交于A、B兩點，若拋物線y=ax²+bx+4經過A， B， C三點， 且AB=6.

（1）求⊙P的半徑R的長；
（2）求該拋物線的解析式并直接寫出該拋物線與⊙P的第四個交點E的坐標；
（3）若以AB為直徑的圓與直線AC的交點為F，求AF的長.

Answer 1

（1）連結AP.
∵拋物線解析式為y=ax²+bx+4
∴C點的坐標為（0，4），即OC=4
∵四邊形OCPD是矩形，∴PD=OC=2，PD⊥AB
∵AB=6，∴AD=3
∵PA²=PD²+AD²，∴R²=4²+3²
∴R=5；
（2）∵OD=PC=5，AD=3，AB=6 ∴OA=2，OB=8 
       即A點的坐標為（2，0）B點的坐標為（8，0）
      代入拋物線y=ax²+bx+4，可求得
       E點坐標為（10，4）；
（3）∵以AB為直徑的圓與直線AC的交點為F ∴∠BEA=90° 
        ∵∠CAO=∠BAE，∠AOC=∠AEB ∴△AOC∽△AEB
        ∴    ∵OA=2，，AB=6 
       ∴AF=