Question

如圖，以矩形OCPD的頂點O為原點，它的兩條邊所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標系．以點P為圓心，PC為半徑的⊙P與x軸的正半軸交于A、B兩點，若拋物線y=ax²+bx+4經過A，B，C三點，且AB=6．
（1）求⊙P的半徑R的長；
（2）求該拋物線的解析式并直接寫出該拋物線與⊙P的第四個交點E的坐標；
（3）若以AB為直徑的圓與直線AC的交點為F，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）在函數y=ax²+bx+4中令x=0，解得y=4，則OC=PD=4，連接PA，在直角三角形△PAD中，根據勾股定理就可以得到PA的長．即圓的半徑；
（2）PC是圓的半徑，PC-AD可以求出，即可以得到A、B的坐標，把A，B的坐標代入y=ax²+bx+4就可以求出a、b的值．即函數的解析式．拋物線與⊙P的第四個交點E一定是C關于直線PD的對稱點；
（3）以AB為直徑的圓，圓心一定是點D，半徑是3，連接BF，易得△AOC∽△AFB．根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出AC的長．

解答：解：（1）連接AP
∵四邊形ODPC為矩形
∴PD⊥AB
∴AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×6=3（（1分））
又∵拋物線y=ax²+bx+4經過A，B，C三點
∴C（0，4）（2分）
即OC=4
∴PD=OC=4（3分）
∴由勾股定理得AP=5（4分）
∴⊙P的半徑R的長為5；

（2）∵OD=CP=AP=5
∴A（2，0）B（8，0）（5分）
求得函數解析式為y=

1

4

（x-2）（x-8）（7分）
拋物線與⊙P的第四個交點E的坐標為（10，4）；（8分）
（3）連接BF
∵AB為⊙D的直徑
∴∠AFB=90°=∠COA
又∵∠CAO=∠BAF
∴△AOC∽△AFB

OA

AF

=

AC

AB

（10分）
∵AO=2
AC=

OA2+CO2

=

22+42

=2

5

（11分）
AB=6，∴

2

AF

=

2 5

6

∴AF=

6

5

5

．（12分）

點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及相似三角形的對應邊的比相等．