Question

【題目】在五邊形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分別為AC、AB、BC的中點．

（1）求證：△EMO≌△OND；

（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，當∠DAB等于多少時，四邊形ADOE是菱形，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當∠DAB等于35°時，四邊形ADOE是菱形

【解析】試題分析：（1）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得：DN=AB，由中位線定理得：OM=AB，則OM=DN，同理得：ON=ME，再根據外角定理和已知證明其夾角相等，則兩三角形全等；

（2）連接AO，當∠DAB等于35°時，四邊形ADOE是菱形，如圖2，設∠DAB=x°，則∠BND=2x°，易證得OD=OE，AD=AE，因此只要AD=OD，四邊形ADOE就是菱形；即∠DAO=∠AOD，列關于x的方程解出即可．

試題解析：證明：（1）∵∠ADB=90°，N是AB的中點，∴DN=AB=AN，∴∠ADN=∠BAD，∵O是AB的中點，M是AC的中點，∴OM是△ABC的中位線，∴OM=AB，OM∥AB，∴∠OMC=∠BAC，同理得：∠BNO=∠BAC，∴∠BNO=∠OMC，∵DN=AB，OM=AB，∴DN=OM，同理得：ME=ON，∵∠BND=∠ADN+∠BAD，∠CME=∠CAE+∠AEM，∴∠BND=2∠BAD，∠CME=2∠CAE，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BND=∠CME，∴∠BND+∠BNO=∠CME+∠OMC，即∠DNO=∠EMO，∴△EMO≌△OND；

（2）當∠DAB等于35°時，四邊形ADOE是菱形，理由是：

如圖2，連接AO，設∠DAB=x°，則∠BND=2x°，∵AB=AC，O是BC的中點，∴AO平分∠BAC，AO⊥BC，∵∠BAC=40°，∴∠BAO=20°，在Rt△ABO中，N是AB的中點，∴ON=AB=AN，∴∠BAO=∠AON=20°，∴∠BNO=40°，由（1）得：ON=AC，DN=AB，∴ON=DN，∴∠NDO=∠NOD=（180°-∠DNO）=90°﹣（2x°+40°）=70°﹣x°，∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC，∴AD=AE，由（1）得：△EMO≌△OND，∴OD=OE，∴當AD=OD時，四邊形ADOE是菱形，即∠DAO=∠AOD，x+20=70﹣x+20，x=35，∴當∠DAB等于35°時，四邊形ADOE是菱形．