Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標是（8，4），連接AC，BC．

（1）求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

（2）動點P從點O出發，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，PA=QA？

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x，BC是直角三角形；（2）當運動時間為時，PA=QA；

（3）點M的坐標為：M1（， ），M2（， ），M3（， ），M4（，﹣）．

【解析】（1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理證出AC2+BC2=AB2，則△ABC是直角三角形；

（2）根據運動表示出OP=2t，CQ=10﹣t，由已知條件證明Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；

（3）分當BM=BA，AM=AB，MA=MB三種情況分類討論，由兩點間的距離公式計算即可，

解：（1）∵直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，

∴A（5，0），B（0，10），

∵拋物線過原點，

∴設拋物線解析式為y=ax2+bx，

∵拋物線過點A（5，0），C（8，4），

∴，∴，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x，

∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），

∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．

（2）如圖1，

當P，Q運動t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t時，

由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，

AC=OA，PA=QA，

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，

∴OP=CQ，

∴2t=10﹣t，

∴t=，

∴當運動時間為時，PA=QA；

（3）存在，

∵y=x2﹣x，

∴拋物線的對稱軸為x=，

∵A（5，0），B（0，10），

∴AB=5

設點M（，m），

①若BM=BA時，

∴（）2+（m﹣10）2=125，

∴m1=，m2=，

∴M1（， ），M2（， ），

②若AM=AB時，

∴（）2+m2=125，

∴m3=，m4=﹣，

∴M3（， ），M4（，﹣），

③若MA=MB時，

∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，

∴m=5，

∴M（，5），此時點M恰好是線段AB的中點，構不成三角形，舍去，

∴點M的坐標為：M1（， ），M2（， ），M3（， ），M4（，﹣），

“點睛”此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，三角形的全等的性質和判定，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是分情況討論，也是本題的難點．