Question

【題目】如圖1，直線MN//直線PQ，點A、B分別是直線MN、PQ上的兩點．將射線AM繞點A順時針勻速旋轉，射線BQ繞點B順時針勻速旋轉，旋轉后的射線分別記為AM′、BQ′，已知射線AM、射線BQ旋轉的速度之和為7度/秒．

(1)如果射線BQ 先轉動30°后，射線AM、BQ′再同時旋轉10秒時，射線AM′與BQ′第一次出現平行．求射線AM、BQ的旋轉速度；

(2)若射線AM、BQ分別以（1）中速度同時轉動t秒，在射線AM′與AN重合之前，求t為何值時AM′⊥BQ′；

（3）若∠BAN=45°，射線AM、BQ分別以（1）中的速度同時轉動t秒，在射線AM′與AN重合之前，射線AM′與BQ′交于點H，過點H作HC⊥PQ，垂足為C，如圖2所示，設∠BAH=α，∠BHC=β，求α和β滿足的數量關系，直接寫出結果．

Answer 1

【答案】(1) 射線AM、BQ的旋轉速度分別為5度/秒、2度/秒;(2) 30秒;(3) 當時，45°.

【解析】（1）設射線AM、BQ的旋轉速度分別為x度/秒、y度/秒，根據速度之和等于7，以及射線AM、BQ的旋轉角度相等列方程組求解即可；

（2）根據AM′與BQ′垂直，可得,求解即可；

（3）根據題意得，延長AM′與BQ交于M′,易得∠A M′B=45°-α,∠HBC=90°-β,而A M′⊥BQ′，從而求得結論.

（1）設射線AM、BQ的旋轉速度分別為x度/秒、y度/秒，根據題意得：

,解得

答：射線AM、BQ的旋轉速度分別為5度/秒、2度/秒.

（2）由AM′與BQ′垂直，則,

,

答：30秒時AM′⊥BQ′

（3）易得，如圖，延長AM′與BQ交于M′,

∵PQ∥MN,

∴∠AM′B=∠N AM′=45°-α,

∵HC⊥PQ,

∴∠HBC=90°-∠BHC=90°-β,

又AM′⊥BQ′,

∴∠HBC+∠AM′B=90°,

∴90°-β+45°-α=90°，即α+β=45°.