Question

【題目】如圖（1），在平行四邊形ABCD中，AB=20， AD=30，∠ABC=60° ，點P從點D出發沿DC向點C勻速運動，速度為每秒3個單位長度； 同時，點Q從點B出發沿BA向點A勻速運動，速度為每秒2個單位長度.當點P停止運動時，點Q也隨之停止運動. 過點P作PM⊥AD交AD于點M ，連接PQ，QM ，設運動的時間為t秒（）.

（1）當QP⊥PM時，求t的值；

（2）如圖（2）連接MC，是否存在t值 ，使得△PQM的面積是平行四邊形ABCD面積的？ 若存在，求出對應的t值；若不存在， 請說明理由；

（3）如圖（3），過點M作MN//AB交于點N，是否 存在t的值， 使得點P在線段MN的垂直平分線上？ 若存在， 求出對應的t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）t=4；（2）t＝6；（3）t=.

【解析】

（1）證明四邊形AQPD是平行四邊形，得AQ＝PD，然后列方程即可解決問題．

（2）作BG⊥DA交DA的延長線于G，過點Q作QK⊥PM于K，交BG于H，求出QK，PM，構建二次函數，然后過A作AI⊥BC于I，求出AI，得到平行四邊形ABCD的面積，再利用面積關系建立方程即可得出結論；

（3）根據平行四邊形的性質和等腰三角形的判定和性質證明NC＝PC，求出NC＝PC＝DM＝，再根據PC＋DP＝CD列出方程即可解決問題．

解：（1）∵PM⊥AD，QP⊥PM，

∴PQ∥AD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴四邊形AQPD是平行四邊形，

∴AQ＝PD，

∴202t＝3t，

∴t＝4；

（2）如圖，作BG⊥DA交DA的延長線于G，過點Q作QK⊥PM于K，交BG于H，則四邊形GHKM是矩形，

在Rt△ABG中，∵∠G＝90°，∠ABG＝30°，AB＝20，

∴AG＝AB＝10，

在Rt△BHQ中，∵∠BHQ＝90°，∠HBQ＝30°，BQ＝2t，

∴HQ＝BQ＝t，

在Rt△PMD中，∵∠PMD＝90°，∠DPM＝30°，DP＝3t，

∴MD＝DP＝t，PM＝，

∴QK＝40tt＝，

∴S△QPM＝PMQK＝××（）＝，

過A作AI⊥BC于I，

在Rt△ABI中，AI＝ABsin60°＝20×，

∴S四邊形ABCD＝BCAI＝30×，

∵△PQM的面積是ABCD面積的，

∴，整理得：t216t＋60＝0，

解得：t＝6或t＝10（舍去），

即t＝6時，△PQM的面積是ABCD面積的；

（3）連接PN，

∵點P在線段MN的垂直平分線上，

∴PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM，

∵AB∥MN，AM∥BN，

∴四邊形ABNM是平行四邊形，

∴∠AMN＝∠MNC＝∠B＝60°，

∵∠PMD＝90°，∠NMD＝120°，

∴∠PMN＝∠PNM＝∠PNC＝30°，

∵∠C＝120°，

∴∠CPN＝30°＝∠PNC，

∴NC＝PC＝DM＝，

∵PC＋DP＝20，

∴，

∴t＝，

即當t＝時，點P在線段MN的垂直平分線上．