Question

【題目】如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB，連接AC、AD、OD，其中AC=CD，過點B的切線交CD的延長線于E．

（1）求證：DA平分∠CDO；

（2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長之和（參考數據：π=3.1，=1.4，=1.7）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）26.5．

【解析】

試題分析：（1）根據平行線的性質和等腰三角形的性質可得∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO，即可證得結論．（2）易證∠CDA=∠BAD=∠CAD，可得==，再證明∠DOB=60°，即可得△BOD是等邊三角形，由此即可解決問題．

試題解析：證明：（1）∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠ADO=∠BAD，

∴∠ADO=∠CDA，

∴DA平分∠CDO．

（2）如圖，連接BD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

又∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，

∴==，

又∵∠AOB=180°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OB，

∴△DOB是等邊三角形，

∴BD=OB=AB=6，

∵=，

∴AC=BD=6，

∵BE切⊙O于B，

∴BE⊥AB，

∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，

∵CD∥AB，

∴BE⊥CE，

∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3，

∴的長==2π，

∴圖中陰影部分周長之和為2π+6+2π+3+3=4π+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.5．