Question

【題目】已知拋物線y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m為常數，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，y1），B（，y2），C（﹣m，y3）是該拋物線上不同的三點，現將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉90°得到直線a，過拋物線頂點P作PH⊥a于H．

（1）用含m的代數式表示拋物線的頂點坐標；

（2）若無論m取何值，拋物線與直線y=x﹣km（k為常數）有且僅有一個公共點，求k的值；

（3）當1＜PH≤6時，試比較y1，y2，y3之間的大小．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標（﹣，﹣）；（2）k=3；（3）﹣1≤m＜﹣或＜m≤時，有y2＞y1=y3，﹣＜m＜﹣時，有y2＜y1=y3．

【解析】

試題分析：（1）根據頂點坐標公式表示出頂點坐標即可；（2）把兩個解析式聯立后得一個一元二次方程，利用△=0即可求k值；（3）首先證明y1=y3，再根據點B的位置，分類討論，①令＜﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，②令=﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．③令＞﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，④令﹣≤＜﹣m，求出m的范圍即可判斷，⑤令=﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令＞﹣m，求出m的范圍即可判斷．

試題解析：（1）∵﹣=﹣， =﹣，

∴頂點坐標（﹣，﹣）．

（2）由消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）=0，

∵拋物線與x軸有且僅有一個公共點，

∴△=0，即（k﹣3）m=0，

∵無論m取何值，方程總是成立，

∴k﹣3=0，

∴k=3，

（3）PH=|﹣﹣（﹣）|=||，

∵1＜PH≤6，

∴當＞0時，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，

∴＜m≤，

當＜0時，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，

∴﹣1，

∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，

∵A（﹣m﹣1，y1）在拋物線上，

∴y1=（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）=﹣4m，

∵C（﹣m，y3）在拋物線上，

∴y3=（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）=﹣4m，

∴y1=y3，

①令＜﹣m﹣1，則有m＜﹣，結合﹣1≤m≤﹣，

∴﹣1≤m＜﹣，

此時，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，如圖1，

∴y2＞y1=y3，

即當﹣1≤m＜﹣時，有y2＞y1=y3．

②令=﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令＞﹣m﹣1，且≤﹣時，有﹣＜m≤﹣，結合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣＜m≤﹣，

此時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，如圖2，

∴y1=y3＞y2，

即當﹣＜m≤﹣時，有y1=y3＞y2，

④令﹣≤＜﹣m，有﹣≤m＜0，結合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣≤m＜﹣，

此時，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，如圖3，

∴y2＜y3=y1．

⑤令=﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．

⑥令＞﹣m，有m＞0，結合＜m≤，

∴＜m≤，

此時，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，如圖4，

∴y2＞y3=y1，

即當＜m≤時，有y2＞y3=y1，

綜上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤時，有y2＞y1=y3，

﹣＜m＜﹣時，有y2＜y1=y3．