Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，且DC切⊙O于C點，∠CAD=30°，延長DC到點E，使∠CAE=∠CAD．
（1）試探求AD與⊙O的半徑有怎樣的數量關系，并加以證明；
（2）求證：AC•CD=AE•OD．

Answer 1

（1）解：AD是⊙O半徑的3倍．
證明：連接OC，
∵DE是切線
∴OC⊥DE
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA=30°
∴∠COD=∠CAO+∠OCA=60°
∴∠D=30°
∴OD=2OC
∴AD=3OC；

（2）證明：∵∠CAE=∠CAD=30°
∴∠EAD=60°=∠COD
∴OC∥AE
∴∠E=∠OCD=90°
又∠EAC=∠D=30°
∴△EAC∽△CDO
∴AE：CD=AC：OD
∴AC•CD=AE•OD．
分析：（1）要探求AD與⊙O半徑的數量關系，因為AD=OD+⊙O的半徑，即探求OD與⊙O半徑的數量關系，為此連接OC，得直角△OCD，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出答案；
（2）欲證AC•CD=AE•OD，即證AE：CD=AC：OD，可以通過證明△EAC∽△CDO求出．
點評：本題主要考查相似三角形的判定和切線的性質．