Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點E、F，連接DE、DF.

（1）試判定四邊形AEDF的形狀，并證明你的結論.

（2）若DE=13，EF=10，求AD的長.

（3）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？

Answer 1

【答案】（1）四邊形AEDF是菱形，證明見解析；（2）24；（3）當△ABC中∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形；

【解析】（1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°證△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四邊形AEDF，根據EF⊥AD得出菱形AEDF；

（2）由（1）知菱形AEDF對角線互相垂直平分，故EO=EF=5，根據勾股定理得DO=12，從而得到AD=24；

（3）根據有一個角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形．

（1）四邊形AEDF是菱形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∵在△AEO和△AFO中

∵，

∴△AEO≌△AFO（ASA），

∴EO=FO，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD相互平分，

∴四邊形AEDF是平行四邊形

又EF⊥AD，

∴平行四邊形AEDF為菱形；

（2）由（1）知，EO=EF=5，AD=2DO,

在Rt△DOE中，∵DE=13，EO=5

∴DO=，

∴AD=2DO=24；

（3）當△ABC中∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形；

∵∠BAC=90°，

∴四邊形AEDF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）．