Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC ， ∠ABC= ，AB=8，AD=3，BC=4，點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數是（　　）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解答：∵AB⊥BC ， ∴∠B= ．
∵AD∥BC ，
∴∠A=180°-∠B= ，
∴∠PAD=∠PBC= ．AB=8，AD=3，BC=4，
設AP的長為x ， 則BP長為8-x ．
若AB邊上存在P點，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：
①若△APD∽△BPC ， 則AP：BP=AD：BC ， 即x：（8-x）=3：4，解得x= ；
②若△APD∽△BCP ， 則AP：BC=AD：BP ， 即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴滿足條件的點P的個數是3個，
故選：C．

分析：因為∠PAD=∠PBC= ，所以要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APD∽△BPC ， ②△APD∽△BCP ， 這兩種情況都可以根據相似三角形對應邊的比相等求出AP的長，從而得到P點的個數．進行分類討論是解答此題的關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定的相關知識，掌握相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．