Question

如圖，在中，點D、E、F分別在邊、、上，且，．下列四種說法： ①四邊形是平行四邊形；②如果，那么四邊形是矩形；③如果平分，那么四邊形是菱形；④如果且，那么四邊形是菱形. 其中，正確的有（   ） 個

A．1            B．2           C．3           D．4

Answer 1

D

析：先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF為平行四邊形，得出①正確；當∠BAC=90°，根據推出的平行四邊形AEDF，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC，得到一對角相等，再根據兩直線平行內錯角相等又得到一對角相等，等量代換可得∠EAD=∠EDA，利用等角對等邊可得一組鄰邊相等，根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB=AC，AD⊥BC，根據等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC，同理可得四邊形AEDF是菱形，④正確，進而得到正確說法的個數．
解答：解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，選項①正確；
若∠BAC=90°，
∴平行四邊形AEDF為矩形，選項②正確；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四邊形AEDF為菱形，選項③正確；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四邊形AEDF為菱形，選項④正確，
則其中正確的個數有4個．
故選D．
點評：此題考查了平行四邊形的定義，菱形、矩形的判定，涉及的知識有：平行線的性質，角平分線的定義，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形、矩形及菱形的判定與性質是解本題的關鍵．