Question

【題目】已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．

（1）如圖1，點C、D分別在邊OA、OB上，連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM，則請你判斷線段AD與OM之間的數量關系,并加以證明．

（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°）．連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM．請你判斷（1）中的結論是否仍然成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時，點C落在OB上，點M為線段BC的中點．請你判斷（1）中線段AD與OM之間的數量關系是否發生變化，寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）OM＝ ，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）不變化，理由見解析

【解析】分析：（1）AD與OM之間的數量關系為AD=2OM；

（2）（1）中的結論仍然成立，理由為：如圖2所示，延長BO到F，使FO=BO，連接CF，由M、O分別為BC、BF的中點，得到OM為三角形BCF的中位線，利用中位線定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等，利用全等三角形的對應邊相等得到FC=AD，等量代換得到AD=2OM；

（3）（1）中線段AD與OM之間的數量關系沒有發生變化，理由為：如圖3所示，延長DC交AB于E，連結ME，過點E作EN⊥AD于N，由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到四個角為45度，進而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形，根據EN為直角三角形ADE斜邊上的中線得到AD=2EN，再利用三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OMEN為矩形，可得出EN=OM，等量代換得到AD=2OM．

詳解：（1）線段AD與OM之間的數量關系是AD=2OM；

（2）（1）的結論仍然成立，理由為：

證明：如圖2，延長BO到F，使FO=BO，連結CF．

∵M為BC中點，O為BF中點，∴MO為△BCF的中位線，∴FC=2OM．

∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC．在△AOD和△FOC中， ，∴△AOD≌△FOC（SAS），∴FC=AD，∴AD=2OM．

（3）（1）中線段AD與OM之間的數量關系沒有發生變化，理由為：

證明：如圖3，延長DC交AB于E，連結ME，過點E作EN⊥AD于N．

∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，∴DN=AN，∴AD=2NE．

∵M為BC的中點，∴EM⊥BC，∴四邊形ONEM是矩形，∴NE=OM，∴AD=2OM．

故答案為：AD=2OM．