Question

【題目】如圖,已知正方形ABCD,將一塊等腰直角三角板的銳角頂點與A重合,并將三角板繞A點旋轉,如圖1,使它的斜邊與BD交于點H,一條直角邊與CD交于點G.

(1)請適當添加輔助線,通過三角形相似,求出的值;

(2)連接GH,判斷GH與AF的位置關系,并證明;

(3)如圖2,將三角板旋轉至點F恰好在DC的延長線上時,若AD=,AF=.求DG的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）GH⊥AF,理由見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接AC，利用等量代換，求出∠BAH=∠GAC,再加上45的角，即可求出△BAH∽△CAG，進而得出結論；（2）先回答位置關系GH⊥AF，再證明，利用（1）問的結論，利用兩邊對應成比例且夾角相等得出△HAG∽△EAF，得出比例式即可；（3）判斷出△AGD∽△FGE，得出，設出未知數，求出AG、EG的長度，利用相似即可求出DG的長度.

試題解析：

（1）連接AC

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAC=∠ABH=∠ABH=45,

又∵△AEF是等腰直角三角形

∴∠EAH=45

∴∠BAH+∠EAC=∠FAC+∠EAC=45

∴∠BAH=∠GAC

∴△BAH∽△CAG.

∴

（2）GH⊥AF,理由如下:

∵在Rt△AEF中，

∴

又∵∠HAG=∠EAF

∴△HAG∽△EAF.

∴∠AHG=∠E=90

∴GH⊥AF..

（3）∵在Rt△AGH中，

∴AG=GH

又∵∠ADG=∠E=90,∠AGD=∠FGE

∴△AGD∽△FGE

∴.

又∵在Rt△AEF中，AF=

∴EF=5

∴

∴

∴

∴可設GH為,則

∴AF=AH+FH=

∴

∴AG=GH

∴

又∵

∴

∴DG=