Question

已知：如圖，⊙O的半徑OC垂直弦AB于點H，連接BC，過點A作弦AE∥BC，過點C作CD∥BA交EA延長線于點D，延長CO交AE于點F．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若BC=5，AB=8，求OF的長．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質和垂直的定義推出∠DCF=90°，根據切線的判定即可判斷；
（2）根據垂徑定理得到AH=BH=3，根據勾股定理求出CH，證△HAF≌△HBC，得出FH=CH=3，CF=6，連接BO，設BO=x，則OC=x，
OH=x-3，由勾股定理得到4²+（x-3）²=x²，求出方程的解，就能求出答案．

解答：（1）證明：∵OC⊥AB，CD∥BA，
∴∠DCF=∠AHF=90°，
∴CD為⊙O的切線．

（2）解：∵OC⊥AB，AB=8，
∴AH=BH=

AB

2

=4，
在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，
由勾股定理得：CH=3，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠HAF，
∵∠BHC=∠AHF，BH=AH，
∴△HAF≌△HBC，
∴FH=CH=3，CF=6，
連接BO，設BO=x，則OC=x，OH=x-3．
在Rt△BHO中，由勾股定理得：4²+（x-3）²=x²，
解得x=

25

6

，
∴OF=CF-OC=

11

6

，
答：OF的長是

11

6

．

點評：本題主要考查對全等三角形的性質和判定，垂徑定理，勾股定理，平行線的性質，切線的判定，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能靈活運用這些性質進行證明是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．