Question

（2003•南寧）如圖所示，已知A，B兩點的坐標分別為（28，0）和（0，28）．動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個單位的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始每秒1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線段AB交于E，F點，連接FP，設動點P與動直線EF同時出發，運動時間為t秒．
（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積，當t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（2）當梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長；
（3）設t的值分別取t₁，t₂時（t₁≠t₂），所對應的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求梯形的面積就要知道兩底和高的值，根據動直線的速度，可以用時間表示出OE的長，也就表示出了梯形的高，根據P的速度可用時間t表示出AP，然后根據AO的長得出OP的長，現在關鍵是底EF的長，由于△AOB是個等腰直角三角形，那么△BEF也應該是個等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的長，就可以表示出BE，EF的長，這樣可根據梯形的面積公式求出梯形的面積，也就求出了梯形的面積與t的函數關系式，就能求出當t=1時梯形的面積，也能求出梯形的最大面積以及對應的t的值；
（2）三角形的面積就是AP•OE÷2，由于（1）中我們得出了梯形的面積與t的函數式，當梯形的面積與三角形的面積相等時，那么這兩個式子就相等，可求出此時時間的值．有了時間的直角就求出了OE，PA的值，可通過F引OA的垂線，用直角三角形和勾股定理求出PF的長；
（3）當時間不同時，AP₁：AP₂=t₁：t₂，而此時AF₁：AF₂也正好是t₁：t₂，那么這兩條線段對應成比例而兩三角形又共用了這里兩組對應線段的夾角，故兩三角形相似．
解答：解：（1）S_梯形OPFE=（OP+EF）•OE=（25+27）×1=26．
設運動時間為t秒時，梯形OPFE的面積為y，
則y=（28-3t+28-t）t=-2t²+28t=-2（t-7）²+98，
所以當t=7秒時，梯形OPFE的面積最大，最大面積為98；

（2）當S_梯形OPFE=S_△APF時，
-2t²+28t=，解得t₁=8，t₂=0（舍去）．
當t=8秒時，FP=8；

（3）由，
且∠OAB=∠OAB，
可證得△AF₁P₁∽△AF₂P₂．
點評：本題主要考查了梯形的性質，等腰直角三角形的性質，二次函數的應用等知識點，根據直角三角形的各特殊角得出線段間的大小關系是解題的關鍵．