Question

【題目】（分）在菱形中， ， ，點是線段上的一個動點．

（）如圖①，求的最小值．

（）如圖②，若也是邊上的一個動點，且，求的最小值．

（）如圖③，若，則在菱形內部存在一點，使得點分別到點、點、邊的距離之和最小．請你畫出這樣的點，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）根據正弦的定義求出AE的最小值；
（2）連接、、，在菱形中，可證為等邊三角形，

的最小值即為的最小值．
（3）以為邊在菱形外作等邊，作于， 即為點分別到點、點、邊的距離之和最小，當于時，點即為所求．

試題解析：（）根據垂線段最短，當時， 最小，最小為菱形的高．

（）連接、、，

在菱形中，可證為等邊三角形，

的最小值即為的最小值．

（）如圖，以為邊在菱形外作等邊，

作于， 即為點分別到點、點、邊的距離之和最小，

當于時，點即為所求．理由如下：

當繞點逆時針旋轉得到，點在上，

此時， ， ，

要使點分別到點、點、邊的距離之和最小，

則要即可．

作，

由題意可得： 為的中點．

在中， ， ，

∴， ，

∴．