Question

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP＝AC．

（1）判斷AP與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求PD的長．

Answer 1

（1）相切；（2）

試題分析：（1）連接OA，先根據圓周角定理求得∠AOC的度數，再根據圓的基本性質求得∠ACP、∠CAO的度數，即可求得∠AOP的度數，再結合AP＝AC可求得∠P的度數，即可作出判斷；
（2）連接AD，由CD是⊙O的直徑可得∠CAD＝90°，再根據30°角的正切函數可求得AD的長，由∠ADC＝∠B＝60°，可求得∠PAD的度數，從而可以求得結果．
（1）連接OA

∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACP＝∠CAO＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝90°，
∴OA⊥AP，
∴AP是⊙O的切線；
（2）連接AD
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD＝90°，
∴AD＝AC•tan30°＝3×＝，
∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°，
∴∠P＝∠PAD，
∴PD＝AD＝．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．