Question

【題目】如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C．

（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的長；

（2）若D為AP的中點，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）AP=2；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）首先根據切線的性質判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函數的定義求得AP的長度；

（2）連接OC，OD、AC構建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的對應角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．

（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，

∴AB⊥AP，

∴∠BAP=90°；

又∵AB=2，∠P=30°，

∴AP===2，即AP=2；

（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

∴∠ACP=90°；

又∵D為AP的中點，

∴AD=CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的對應角相等）；

又∵AP是⊙O的切線，A是切點，

∴AB⊥AP，

∴∠OAD=90°，

∴∠OCD=90°，即直線CD是⊙O的切線．