Question

【題目】 如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．

（1）求點B的坐標．

（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．

①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC，求點P的坐標．

②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）①（4，21）或（﹣4，5）；②當x=﹣時，QD有最大值．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為（﹣3，0），根據二次函數的對稱性，即可求得B點的坐標；

（2）①a=1時，先由對稱軸為直線x=﹣1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3，得到C點坐標，然后設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），根據S△POC=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；

②先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，再設Q點坐標為（x，﹣x﹣3），則D點坐標為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值．

解：（1）∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，

∴A、B兩點關于直線x=﹣1對稱，

∵點A的坐標為（﹣3，0），

∴點B的坐標為（1，0）；

（2）①a=1時，∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，

∴=﹣1，解得b=2．

將B（1，0）代入y=x2+2x+c，

得1+2+c=0，解得c=﹣3．

則二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，﹣3），OC=3．

設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC=4S△BOC，

∴×3×|x|=4××3×1，

∴|x|=4，x=±4．

當x=4時，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

當x=﹣4時，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）；

②設直線AC的解析式為y=kx+t （k≠0）將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得，解得，

即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設Q點坐標為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

∴當x=﹣時，QD有最大值．