Question

已知：如圖，在ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2。

（l）若CF=2，AE=3，求BE的長；
（2）求證：。

Answer 1

解：（1）∵CF=2，點F為CE的中點，∴CE=4。
∵CE=CD，∴CD=4。
∵四邊ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4。
∵ AE⊥BC，AE=3，∴。
（2）如圖，過點GH∥BC交AE于點H，則∠CEG=∠EGH。

∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD，
∴△CEG≌△CDF（AAS）。∴CG=CF。
∵點F為CE的中點，∴點G為CD的中點。
∴點H為AE的中點，即GH是AE的垂直平分線。
∴GA=GE。∴∠EGH=∠AGH。
∴。

（1）根據平行四邊形對邊相等的性質，由已知，經過等量代換得到直角三角形ABE的AB長，從而由已知的AE長，應用勾股定理可求得BE的長。
（2）過點GH∥BC交AE于點H，則∠CEG=∠EGH，通過△CEG≌△CDF得到點G為CD的中點，從而確定GH是AE的垂直平分線，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質，得到GA=GE，進而根據等腰三角形三線合一的性質，得∠EGH=∠AGH，從而得證。