Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，F是BC上任意一點，連接AF交對角線BD于點E，連接EC．

（1）求證：AE=EC；
（2）當∠ABC=60°，∠CEF=60°時，點F在線段BC上的什么位置？說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：連接AC，

∵BD，AC是菱形ABCD的對角線，∴BD垂直平分AC。
∴AE=EC。
（2）點F是線段BC的中點。理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形。
∴∠BAC=60°。
∵AE=EC，∠CEF=60°，∴∠EAC=∠BAC=30°。
∴AF是△ABC的角平分線。
∵AF交BC于F，∴AF是△ABC的BC邊上的中線。
∴點F是線段BC的中點。

試題分析：（1）連接AC，根據菱形的對角線互相垂直平分可得BD垂直平分AC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得證。
（2）先判定出△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的每一個角都是60°可得∠BAC=60°，再根據等邊對等角以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠EAC=30°，從而判斷出AF是△ABC的角平分線，再根據等邊三角形的性質可得AF是△ABC的BC邊上的中線，從而解得。