Question

【題目】如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：

（1）仔細觀察，在圖2中有 個以線段AC為邊的“8字形”
（2）在圖2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度數．
（3）在圖2中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系（用α、β表示∠P），并說明理由；
（4）如圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數為

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）

解：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，

∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，

∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，

∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，

即∠P=（∠C+∠B），

∵∠C=100°，∠B=96°

∴∠P=（100°+96°）=98°；

（3）

解：∠P=（β+2α）；

理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，

∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，

∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，

∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC，

∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，

∴∠P=（∠B+2∠C），

∵∠C=α，∠B=β，

∴∠P=（β+2α）；

（4）3600
【解析】（1）以M為交點的“8字形”有1個，以O為交點的“8字形”有2個；
（2）根據角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據三角形內角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入計算即可；
（3）與（2）的證明方法一樣得到∠P=（2∠C+∠B）．
（4）根據三角形內角與外角的關系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根據四邊形內角和為360°可得答案．
【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角和多邊形內角與外角，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2）180°.多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°才能得出正確答案．