Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙0的直徑．點C

為⊙0上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D。

(1) 求證：CD為⊙0的切線；

(2) 若DC+DA=6，⊙0的直徑為l0，求AB的長度.

Answer 1

(1)證明：連接OC,

∵點C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因為CD⊥PA，所以∠CDA=90°，

有∠CAD+∠DCA=90°，因為AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。

∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。

又∵點C在⊙O上，OC為⊙0的半徑，所以CD為⊙0的切線．（4分）

(2) 解：過0作0F⊥AB，垂足為F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四邊形OCDF為矩形，∴0C=FD，OF=CD.

∵DC+DA=6，設AD=x，則OF=CD=6-x，

∵⊙O的直徑為10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得.

即，化簡得：

解得或。

由AD<DF，知，故。

從而AD=2, AF=5-2=3.

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，∴AB=2AF=6. （10分）