Question

【題目】如圖（1）A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中點嗎？請證明你的結論。若將 ⊿ABC的邊EC經AC方向移動變為圖（2）時，其余條件不變，上述結論還成立嗎？為什么？

Answer 1

【答案】(1)G是EF的中點.(2)上述結論還成立,G是EF的中點.

【解析】

(1)連接BE、FD，首先由題意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，則由全等三角形的判定定理HL證得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四邊形BEDF為平行四邊形，即可推出G是EF的中點；
(2)同(1)的證明過程.

解：(1)G是EF的中點.理由如下：
連接BE，DF，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠BFA=∠DEC=90°．

又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，

∵AB=CD,

∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴EG=GF，

∴G是EF的中點.

(2)上述結論還成立．理由如下：

連接BE，DF，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，

∵AB=CD,

∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴EG=GF，

∴G是EF的中點.