Question

【題目】在△ABC中，CA=CB=3，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖所示放置，頂點(diǎn)P在線段AB上滑動(dòng)，三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點(diǎn)C，并且與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點(diǎn)D．

（1）當(dāng)PN∥BC時(shí)，判斷△ACP的形狀，并說明理由．

（2）在點(diǎn)P滑動(dòng)的過程中，當(dāng)AP長(zhǎng)度為多少時(shí)，△ADP≌△BPC，為什么？

（3）在點(diǎn)P的滑動(dòng)過程中，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若不可以，請(qǐng)說明理由；若可以，請(qǐng)直接寫出α的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形，理由見解析；（2）當(dāng)AP=3時(shí)，△ADP≌△BPC，理由見解析；（3）當(dāng)α=45°或90°或0°時(shí)，△PCD是等腰三角形

【解析】

（1）由PN與BC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，求出∠ACP為直角，即可得證；
（2）當(dāng)AP=3時(shí)，△ADP與△BPC全等，理由為：根據(jù)CA=CB，且∠ACB度數(shù)，求出∠A與∠B度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到∠α=∠APD，根據(jù)AP=BC，利用ASA即可得證；
（3）點(diǎn)P在滑動(dòng)時(shí)，△PCD的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當(dāng)PC=PD；PD=CD；PC=CD，分別求出夾角α的大小即可．

（1）當(dāng)PN∥BC時(shí)，∠α=∠NPM=30°，

又∵∠ACB=120°，

∴∠ACP=120°-30°=90°，

∴△ACP是直角三角形；

（2）當(dāng)AP=3時(shí)，△ADP≌△BPC，

理由為：∵∠ACB=120°，CA=CB，

∴∠A=∠B=30°，

又∵∠APC是△BPC的一個(gè)外角，

∴∠APC=∠B+α=30°+α，

∵∠APC=∠DPC+∠APD=30°+∠APD，

∴∠APD=α，

又∵AP=BC=3，

∴△ADP≌△BPC；

（3）△PCD的形狀可以是等腰三角形，

則∠PCD=120°-α，∠CPD=30°，

①當(dāng)PC=PD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD=∠PDC==75°，即120°-α=75°，

∴∠α=45°；

②當(dāng)PD=CD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-α=30°，

∴α=90°；

③當(dāng)PC=CD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴∠CDP=∠CPD=30°，

∴∠PCD=180°-2×30°=120°，

即120°-α=120°，

∴α=0°，

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D和A重合，

綜合所述：當(dāng)α=45°或90°或0°時(shí)，△PCD是等腰三角形．