Question

如圖所示，在平面直角坐標系中有點A（-1，0）、點B（4，0），以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點D，使四邊形BOCD為直角梯形，求直線BD的解析式．

Answer 1

解：（1）如圖，連結AC，CB．
依相交弦定理的推論可得：OC²=OA•OB，
即OC²=1×4=4，
解得：OC=2或-2（負數舍去），
故C點的坐標為（0，2）；

（2）解法一：設拋物線解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
把A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三點坐標代入上式得：
，
解之得：，
故拋物線解析式是．
解法二：設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
把點C（0，2）的坐標代入上式得：
．
故拋物線解析式是．

（3）解法一：如圖，過點C作CD∥OB，交拋物線于點D，則四邊形BOCD為直角梯形．
設點D的坐標是（x，2）代入拋物線解析式整理得：
x²-3x=0，
解之得x₁=0，x₂=3．
∴故點D的坐標為（3，2）
設過點B、點D的解析式為：y=kx+b，
把點B（4，0），點D（3，2）的坐標代入上式得：

解之得：，
故直線BD的解析式為y=-2x+8，
解法二：如圖，過點C作CD∥OB，交拋物線于點D，則四邊形BOCD為直角梯形．
由（2）知拋物線的對稱軸是，
故過D的坐標為（3，2），
設過點B、點D的解析式為：y=kx+b，
把點B（4，0），點D（3，2）的坐標代入上式得：

解之得：，
故直線BD的解析式為y=-2x+8，
分析：（1）直接根據相交弦定理得出OC²=OA•OB，即可求出OC的長，即可得出C點坐標；
（2）根據A，B，C坐標直接求出拋物線的解析式即可；
（3）首先過點C作CD∥OB，交拋物線于點D，則四邊形BOCD為直角梯形，設點D的坐標是（x，2）代入拋物線解析式求出D點坐標，進而得出直線BD的解析式即可．
點評：此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求函數解析式和直角梯形的性質等知識，根據已知得出D點坐標是解題關鍵．