Question

如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直 線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。

（1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；
（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

解：（1）， 其證明如下： ∵CE是∠ACB的平分線， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可證， ∴； （2）四邊形不可能是菱形，若為菱形，則，而由（1）可知，在平面內過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線； （3）當點O運動到AC中點時，，則四邊形為平行四邊形，要使為正方形，必須使， ∵， ∴， ∴是以為直角的直角三角形， ∴當點O為AC中點且是以為直角的直角三角形時，四邊形是正方形。