Question

（2013•上海）如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y=ax²+bx（a＞0），經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）連接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點坐標，以及B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中解析式求出M點坐標，再利用銳角三角函數(shù)關系求出∠FOM=30°，進而得出答案；
（3）分別根據(jù)當△ABC₁∽△AOM以及當△C₂BA∽△AOM時，利用相似三角形的性質求出C點坐標即可．

解答：解：（1）過點A作AE⊥y軸于點E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE=

3

，AE=1，
∴A點坐標為：（-1，

3

），B點坐標為：（2，0），
將兩點代入y=ax²+bx得：

a-b= 3 4a+2b=0

，
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3

，
∴拋物線的表達式為：y=

3

3

x²-

2 3

3

x；


（2）過點M作MF⊥OB于點F，
∵y=

3

3

x²-

2 3

3

x=

3

3

（x²-2x）=

3

3

（x²-2x+1-1）=

3

3

（x-1）²-

3

3

，
∴M點坐標為：（1，-

3

3

），
∴tan∠FOM=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）當點C在x軸負半軸上時，則∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此時∠C=0°，故此種情況不存在；
當點C在x軸正半軸上時，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2

3

，
當△ABC₁∽△AOM，
∴

AO

AB

=

MO

BC1

，
∵MO=

FO2+FM2

=

2 3

3

，
∴

2

2 3

=

2 3 3

BC1

，
解得：BC₁=2，∴OC₁=4，
∴C₁的坐標為：（4，0）；
當△C₂BA∽△AOM，
∴

BC2

AO

=

AB

MO

，
∴

BC2

2

=

2 3

2 3 3

，
解得：BC₂=6，∴OC₂=8，
∴C₂的坐標為：（8，0）．
綜上所述，△ABC與△AOM相似時，點C的坐標為：（4，0）或（8，0）．

點評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的應用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形的性質等知識，利用分類討論思想以及數(shù)形結合得出是解題關鍵．