Question

【題目】學習整式乘法時，老師拿出三種型號的卡片，如圖1：A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形。

（1）選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個長為（a+b）的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式：______________

（2）若用圖1中的8塊C型長方形卡片可以拼成如圖3所示的長方形，它的寬為20cm，請你求出每塊長方形的面積

（3）選取1張A型卡片，3張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內，已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為S1，S2，若S=S2-S1，則當a與b滿足_________時，S為定值，且定值為___________.

Answer 1

【答案】（1）a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）75 cm2；（3）a=2b，a2-ab.

【解析】

（1）結合圖形，直接由等積法可得完全平方和公式；

（2）結合圖形，建立關于a，b的二元一次方程組，解方程組即可；

（3）設DG長為x，結合圖形，用含x的式子分別表示出S1，S2，繼而得到S的表達式，根據S為定值，與x無關，從而得到a，b的關系式及定值．

解：（1）A型卡片的面積為a2，B型卡片的面積為b2，C型卡片的面積為ab，
題中已經選擇1張A型卡片，2張C型卡片，一張B型卡片，面積之和為a2+2ab+b2，由圖可知，也正好拼成了一個邊長為（a+b）的正方形，由此可以得到一個完全平方公式，故答案為：a2+2ab+b2=（a+b）2；

（2）由圖可得關于a，b的二元一次方程

，

解得：，

S=ab=5×15=75 (cm2)

故每個C型長方形的面積為75 cm2

（3）設DG長為x，由圖可知
S1=a[x-（a+b）]=ax-a2-ab
S2=2b（x-a）=2bx-2ab
S=S2-S1= 2bx-2ab-( ax-a2-ab)=(2b-a)x+a2-ab
由題意得，若S為定值，則S將不隨x的變化而變化，
可知當2b-a=0時，即a=2b時，S= a2-ab為定值
故答案為：a=2b，a2-ab.