Question

（2013•閘北區一模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點M、N分別在邊AO和邊OD上，且AM=

2

3

AO，ON=

1

3

OD，設

AB

=

a

，

BC

=

b

，試用

a

、

b

的線性組合表示向量

OM

和向量

MN

．

Answer 1

分析：根據平行四邊形法則求出

AC

，再根據平行四邊形的對角線互相平分表示

AO

，然后根據OM=

1

3

AO，再表示出

OM

即可；
根據平行線分線段成比例定理求出MN∥AD，并求出

MN

AD

=

1

3

，然后根據向量的表示

MN

=

1

3

AD

即可得解．

解答：解：根據平行四邊形法則，

AC

=

AB

+

BC

=

a

+

b

，
∵平行四邊形ABCD，
∴AO=

1

2

AC，
∴

AO

=

1

2

AC

=

1

2

（

a

+

b

），
∵AM=

2

3

AO，
∴OM=

1

3

AO，
∴

OM

=-

1

3

AO

，
∴

OM

=-

1

3

×

1

2

（

a

+

b

）=-

1

6

a

-

1

6

b

；

∵AM=

2

3

AO，ON=

1

3

OD，
∴

OM

OA

=

ON

OD

=

1

3

，
∴MN∥AD，
∴

MN

AD

=

OM

OA

=

1

3

，
∴

MN

=

1

3

AD

，
又∵平行四邊形ABCD，
∴

AD

=

BC

=

b

，
∴

MN

=

1

3

b

．

點評：本題是對向量的考查，主要利用了平行四邊形法則，平行四邊形的對角線互相平分的性質，平行線分線段成比例定理，要注意線性組合的特點的利用．