Question

已知，如圖，已知點A的坐標是（-

3

，0），點B的坐標是（3

3

，0），以AB為直徑作⊙M，交y軸的負半軸于點C，交y正半軸于點D，連接AC、BC，過A、B、C三點作拋物線．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接D M并延長交⊙M于點E，過點E作⊙M的切線分別交x軸、y軸于點F、G，求直線FG的解析式；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點A、B的坐標求出OA、OB的長，從而得到⊙M的直徑，然后求出半徑DM以及OM，再根據勾股定理列式求出OD的長，根據垂徑定理可得OC=OD，從而得到點C的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）在Rt△ODM中，利用正切函數值求出∠ODM的度數是30°，再根據切線的定義可得DE⊥FG，然后解直角三角形求出DG的長度，∠DGE=60°，從而可得OG的長度，再利用∠DGE的正切函數值求出OF的長度，從而可得點G、F的坐標，再利用待定系數法求直線解析式解答即可；
（3）根據梯形的定義，分①AB是底邊時，PC∥AB，利用點P的縱坐標與點C的縱坐標相等，代入拋物線解析式計算求出點P的橫坐標，即可得解；②AC是底邊時，PB∥AC，先根據點A、C的坐標得到直線AC的解析式，再根據平行直線的解析式的k值相等求出過點B與AC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標；③BC是底邊時，AP∥BC，根據點B、C的坐標求出直線BC的解析式，再根據平行直線的解析式的k值相等求出過點A與BC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵點A的坐標是（-

3

，0），點B的坐標是（3

3

，0），
∴OA=

3

，OB=3

3

，
∴⊙M的直徑=

3

+3

3

=4

3

，
∴⊙M的半徑DM=

1

2

×4

3

=2

3

，
OM=2

3

-

3

=

3

，
在Rt△ODM中，根據勾股定理，OD=

DM2-OM2

=

(2 3 )2- 3 2

=3，
根據垂徑定理，OC=OD=3，
所以，點C的坐標為（0，-3），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

3a- 3 b+c=0 27a+3 3 b+c=0 c=-3

，
解得

a= 1 3 b= 2 3 3 c=-3

，
所以，拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）在Rt△ODM中，tan∠ODM=

OM

OD

=

3

3

，
所以，∠ODM=30°，
∵FG是⊙M的切線，
∴DE⊥FG，
∴∠DGE=90°-30°=60°，
DG=DE÷cos30°=4

3

÷

3

2

=8，
∴OG=DG-OD=8-3=5，
∴OF=OG•tan60°=5

3

，
∴點G（0，-5），F（5

3

，0），
設直線FG的解析式為y=kx+b，
則

b=-5 5 3 k+b=0

，
解得

k= 3 3 b=-5

，
所以，直線FG的解析式為y=

3

3

x-5；

（3）①AB是底邊時，PC∥AB，
所以，點P的縱坐標與點C的縱坐標相同，是-3，
即

1

3

x²-

2 3

3

x-3=-3，
整理得，x²-2

3

x=0，
解得x₁=0（為點C坐標，舍去），x₂=2

3

，
所以，點P的坐標為（2

3

，-3）；
②AC是底邊時，PB∥AC，由點A（-

3

，0）、C（0，-3）可得直線AC的解析式為y=-

3

x-3，
設直線PB的解析式為y=-

3

x+m，
把點B（3

3

，0）代入得，-

3

×3

3

+m=0，
解得m=9，
所以，直線PB的解析式為y=-

3

x+9，
聯立

y=- 3 x+9 y= 1 3 x2- 2 3 3 x-3

，
解得

x1=3 3 y1=0

（為點B的坐標，舍去），

x2=-4 3 y2=21

，
所以，點P的坐標為（-4

3

，21）；
③BC是底邊時，AP∥BC，由點B（3

3

，0）、C（0，-3）可得直線BC的解析式為y=

3

3

x-3，
設直線AP的解析式為y=

3

3

x+n，
把點A（-

3

，0）代入得，

3

3

×（-

3

）+n=0，
解得n=1，
所以，直線AP的解析式為y=

3

3

x+1，
聯立

y= 3 3 x+1 y= 1 3 x2- 2 3 3 x-3

，
解得

x1=- 3 y1=0

（為點A的坐標，舍去），

x2=4 3 y2=5

，
所以，點P的坐標為（4

3

，5）；
經檢驗，三種情況時，兩底邊都不相等，
故存在點P（2

3

，-3）或（-4

3

，21）或（4

3

，5），使以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形．

點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要涉及待定系數法求函數解析式（包括二次函數解析式與一次函數解析式），勾股定理的應用，垂徑定理，兩平行直線的解析式的k值相等的性質，聯立兩函數解析式求交點坐標，梯形的兩底邊平行，（3）要分AB、AC、BC分別是底邊三種情況討論求解．