Question

如圖，已知一次函數y =  -  x +7與正比例函數y  =   x的圖象交于點A，且與x軸交于點B.

（1）求點A和點B的坐標；

（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒.

①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）根據題意，得，解得 ，∴A(3，4) .

令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.

（2）①當P在OC上運動時，0≤t＜4.

由S_△APR=S_梯形COBA-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t²-8t+12=0, 解之得t₁=2,t₂=6（舍）

當P在CA上運動，4≤t＜7.

由S_△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）

∴當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8.

②當P在OC上運動時，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

當AP =AQ時， （4-t）²+3²=2(4-t)²,

整理得，t²-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

當AP=PQ時，（4-t）²+3²=(7-t)²,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)

當AQ=PQ時，2（4-t）²=(7-t)²

整理得，t²-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

當P在CA上運動時，4≤t＜7. 過A作AD⊥OB于D,則AD=BD=4.

設直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．

當AP=AQ時，7-t = (t-4)，解得t = .

當AQ=PQ時，AE＝PE，即AE= AP

得t-4= (7-t)，解得t =5.

當AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F

AF= AQ = ×(t-4).

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP

即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .

∴綜上所述，t=1或 或5或 時，△APQ是等腰三角形.